円柱座標系での曲面

2013年 6月 19日掲載，2013年 6月 20日修正

直交座標系で z = sum aij xi yj という多項式で表される曲面を，円柱座標系で書いて，いろいろ考えてみた．

まず，2次元の直交座標系と円座標系の関係を書いておこう．円座標系は，2次元の位置を原点からの方向と距離で表す座標系である． 2次元の直交座標を，原点からの距離と軸からの反時計回りの角度で表すと，

x = r cos t y = r sin t

である．

円柱座標系では，円座標系に平面と直交する軸が加わる．

z = sum aij xi yj という多項式で表された曲面を，円柱座標系で表してみる．

次数の低い方から考えよう．

の場合は簡単である．

の場合は，

は定数である．これは，軸と直交する平面である．

の場合は，

z = a10 x + a01 y = a10 r cos t + a01 r sin t = r (a10 cos t + a01 sin t)

とは直交している関数である．

の場合を考えてみよう．

z = a20 x2 + a11 xy + a02 y2 = a20 r2 cos2 t + a11 r2 cos t sin t + a02 r2 sin2 t = r2/2 ((a20 + a02)(cos2 t + sin2 t) + (a20 - a02)(cos2 t - sin2 t) + a11 2 sin t cos t) = r2/2 ((a20 + a02) + (a20 - a02)cos 2t + a11 sin 2t)

となる．は互いに直交している関数である．

ここで，これまで出てきた関数で表現される曲面を描いてみよう．

z = 1

z = r cos t = x

z = r sin t = y

z = r2/2 = 1/2(x2 + y2)

z = r2/2 cos 2t = 1/2(x2 - y2)

z = r2/2 sin2t = xy

の 2次の多項式で表される曲面は，3つの平面，1つの回転放物面と 2つの双曲放物面の組み合わせで表現できる．

さらに高次の場合を考えてみよう．

の場合は，

cos 3t = cos 2t cos t - sin 2t sin t = (cos2 t - sin2 t) cos t - 2 sin t cos t sin t = cos3 t - 3 cos t sin2 t

sin 3t = sin 2t cos t + cos 2t sin t = 2 sin t cos t cos t + (cos2 t - sin2 t) sin t = 3 cos2 t sin t - sin3 t

cos t = (cos2 t + sin2 t) cos t = cos3 t + cost sin2 t

sin t = (cos2 t + sin2 t) sin t = cos2 t + sin3 t

なので，

sum ai 3-i xi y3-i = r3 sum b3 2i-1 cos (2i-1)t + c3 2i-1 sin (2i-1)t

の場合は，

cos 4t = cos2 2t - sin2 2t = (cos2 t - sin2 t)2 - (2 sin t cos t)2 = cos4 t - 6 cos2 t sin2 t + sin4 t

sin 4t = 2 sin 2t cos 2t = 2 2 sin t cos t (cos2 t - sin2 t) = 4 cos3 t sin t - 4 cos t sin3 t

cos 2t = (cos2 t + sin2 t) cos 2t = (cos2 t + sin2 t)(cos2 t - sin2 t) = cos4 t - sin4 t

sin 2t = (cos2 t + sin2 t) sin 2t = (cos2 t + sin2 t) 2 sin t cos t = 2 cos3 t sin t + 2 cos t sin3 t

1 = (cos2 t + sin2 t)2 = cos4 t + 2 cos2 t sin2 t + sin4 t

なので，

sum ai,4-i xi y4-i = r4 b40 /2 + sum b4 2i cos 2it + c4 2i sin 2it

と書ける．

2変数の多項式は，円座標系で表すと，の乗との直交する三角関数列の積になるようだ．

平面的な流れは，流れ関数という関数の等値線に沿う性質があり，流れ関数は曲面で表せる．リモートセンサの類は，測定対象を方向と距離でとらえるので，流れ関数を円柱座標系で表すと，考えやすくなることがある．

直交座標系で流れ関数をと書くと，

vx = dp/dy vy = - dp/dx

となる．円柱座標系で流れ関数をと書くと，

流速の距離方向の成分は，

と直交する回転方向の成分は，

となる．

さて，流れ関数をの2次の多項式で表すと，

で，

vx = a11 x + 2 a02 y + a01 vy = - 2 a20 x - a11 y - a10

である．これを円柱座標系で表すと，

と書けて，

vr = - 2 b21 r sin 2t + 2 c21 r cos 2t - b11 sin t + c11 cos t vt = 2 b20 r + 2 b21 r cos 2t + 2 c21 r sin 2t + b11 cos t + c11 sin t

となる．

1ヶ所から平面的な流れを遠隔測定するとしたら，を測定できれば流れ関数を推定可能ということになる．には，が含まれていないので，だけではを推定できない．ではだけが，流線を閉じることができる項なので，これがわからないのはかなりつらい．高次の多項式にしても，だけでは，のの係数を知ることができない．

更新履歴

2013年 6月 20日係数の添字などを修正
2013年 6月 19日掲載

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